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Dynamic mathémat ues Icues Les mathématiques sont partout, depuis toujours et plus encore dans nos sociétés technologiques. Un dossier de rentrée consa- cré à ce merveilleux outil qui permet tout et —surtout—de rêver ! O c t o b r e 1 6 4 0 : l é m a t h é m a t i c i e n f Fermat écrit une lettré à son collègue Frénicle de Bessy, dans laquelle il lui fait notamment part dune de ses observations : "Tout nombre premier mesure infail- liblement une des puissances—1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-mul- tiple du nombre premier donné —1; et, après qu'on a trouvé la première puissance qui satisfait à la question, toutes celles dont les exposants sont multiples de l'exposant de la première satisfont tout de même à la question." Cet énoncé, qui sera connu sous le nom de "petit" théo- rème de Fermat n'est pas propre à vous réconcilier avec les mathématiques ? Vous avez tort. Traduisons-le tout d'abord dans un français actuel—les mathématiques, c'est aussi une question de compréhension de langage ! —: "Si p est un nombre premier et l'entier a n'est pas un multi- ple de p, alors aP - 1 - 1 e s t u n m u l t i p l e d e p " . T o u j o u r s p plus convaincu ? Il est vrai qu'énoncé de la sorte, le théo- rème paraît sans grand intérêt et les exemples qu'on peut trouver encore moins. Prenons a=5, p=3 et 5 2 - 1 = 2 4 e s t effectivement multiple de 3. Quelle utilité ? D'abord, sans doute, sa démonstration : il fallut Leibniz (peut-être) et sur- tout Euler, celui-ci en 1741, pour y arriver. Fermat, Leibniz, Euler : trois parmi les plus grands génies des mathéma- tiques ont oeuvré pour prouver—le terme est important — DOSSIER HENRI DUPUIS sept embre-décembre 2018 / 271 U L i è g e www. uliege. be/ LQ J 0 À L A UNE que ce banal énoncé se vérifie constamment. Mais ce théorème a aussi une autre utilité, du moins a-t-elle été découverte en 1975, plus de trois siècles donc après son énoncé ! Car c'est sur lui, notamment, que repose la sécu- risation de nos données, par exemple lorsque nous effec- tuons des transactions bancaires depuis notre ordinateur... « Le secteur des communications digitales repose sur des théorèmes de la théorie des nombres comme celui de Fermat, explique Michel Rigo. Un téléphone portable est un condensé de mathématiques. » Professeur au département de mathématique de I'Lliège, Michel Rigo est un missionnaire. Sa bonne parole, il la dis- pense dans ses cours universitaires, bien sûr, mais aussi dans les Écoles normales ou secondaires, tirant derrière lui son kit de matériel pédagogique. « Dans le secondaire, sourit-il la mine gourmande, je commence par expliquer le fonctionnement de Google ! L'algorithme, la méthode qui va permettre de classer des milliards de pages web, repose sur un théorème, dû à Oskar Perron, qui date de 1907 ! Sans cela, on serait potentiellement dans l'inca- pacité de pouvoir classer efficacement ces milliards de pages. En exagérant un peu, on a sans doute dû dire à Perron : "Votre théorème ne sert à rien ! " Le génie des deux concepteurs de Google a été d'aller chercher ce théorème pour l'appliquer à quelque chose de différent. »