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sur ce point auprès des jeunes que je rencontre, car trop souvent on présente des mathématiciens seuls dans leur cave ou leur bureau. Mais la réalité est tout autre ! Tous font progresser le savoir, même si leurs travaux n’ont pas d’application “directe”. » À l’Institut Henri Poincaré de Paris, l’un des plus grands centres mondiaux de recherche en mathématiques, les célèbres tableaux verts couverts de formules ornent aussi les murs de la cafétéria : on ne sait jamais, si une fulgurance surgissait lors du partage d’un sandwich ou d’un café… MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Analyse mathématique, géométrie, probabilité et statis- tique étaient présentes depuis longtemps dans le dépar- tement de mathématique liégeois. Il revient à Michel Rigo d’avoir innové en développant un nouveau domaine : celui des mathématiques discrètes. « Le terme “discret” s’oppose évidemment à “continu”, explique-t-il. Ce sont les maths les plus proches de l’informatique, mais nous n’avons pas nécessairement les mêmes finalités. » Les activités de recherche de Michel Rigo se déploient ainsi dans plusieurs domaines des mathématiques discrètes. Un premier est la combinatoire des mots ! Un mot est une suite de lettres. Et un carré est la répétition de deux mots identiques. En français, le mot “bonbon” est un carré. Si l’on n’a que deux lettres à sa disposition (a, b), on devine rapidement que si l’on écrit un mot suffisamment long, il devra nécessairement contenir un carré. On peut en effet écrire les mots suivants : a, b, ab, ba, aba, bab. Et c’est tout, toutes les autres combinaisons vont en effet contenir un carré. D’où le théorème suivant : avec deux lettres, tout mot de longueur 4 au moins contient un carré. « Ce n’est pas un théorème très profond mais une observation, reconnaît Michel Rigo. Mais à partir de là, on peut se poser bien des questions : que se passe-t-il avec trois lettres ? Réponse : on pourra écrire une suite infi- nie sans carré (mais la démonstration est astucieuse !). Autre question : nous avons vu qu’avec deux lettres, les carrés sont inévitables à partir de mots de longueur 4, mais pourrait-on éviter les cubes ? Oui : abbabaab- baababba… (c’est une suite très simple à construire, il suffit de recopier chaque fois le contraire de ce que l’on vient d’écrire : le a devient b et forme ab, le ab devient ba et forme abba, le abba devient baab et forme abbabaab, etc.). Cette suite ne contiendra jamais aucun cube… mais la démonstration fait deux pages ! » En combinatoire des mots, les mathématiciens se posent donc des questions sur les arrangements de symboles qui vont faire appa- raître tel ou tel motif, etc. Et cela n’intéresse pas que les mathématiciens. On peut en effet imaginer remplacer les lettres a, b, c, d par A, C, G, T, les quatre bases azotées constitutives de l’ADN. De quoi intéresser les biologistes et les généticiens… Comme le montre le titre de son dernier ouvrage* écrit avec Valérie Berthé, Michel Rigo s’intéresse aussi aux groupes (des structures mathématiques avec une opé- ration), à la théorie des nombres mais aussi à celle des graphes. Un domaine où existent de nombreuses appli- cations : dès qu’il y a des relations entre des individus, des pages internet, des amis sur Facebook ou entre deux villes (bonjour le GPS !), celles-ci peuvent être modélisées par un graphe. « Nous nous intéressons particulièrement aux graphes planaires , explique Michel Rigo. C’est-à-dire ceux dont on peut relier tous les sommets sans que les connexions ne se coupent. » À nouveau, quel intérêt ? « Allez poser la question aux fabricants de circuits impri- més , sourit Michel Rigo. En général, ils préfèrent qu’il n’y ait pas de courts-circuits ! » * Valérie Berthé et Michel Rigo, Sequences, Groups and Number Theory , Birkhäuser, Bâle, 2018. J.-L. Wertz 14 septembre-décembre 2018 / 271 ULiège www.uliege.be/le15jour 0 !) /1, Pr Michel Rigo